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做短视频网站,网站域名注册商标有什么好处,wordpress欢迎页面模板下载,苏州做网站便宜的公司哪家好一、阻尼单摆的数学物理推导1.1 动力学方程建立假设与坐标系#xff1a;单摆摆长为 #xff0c;摆锤质量为 。摆角 为偏离竖直向下位置的角位移。存在与速度成正比的线性阻尼力#xff0c;阻尼系数为 #xff08;单位#xff1a;kg/s#xff09;。重力加速度为 。受力分…一、阻尼单摆的数学物理推导1.1 动力学方程建立假设与坐标系单摆摆长为摆锤质量为。摆角为偏离竖直向下位置的角位移。存在与速度成正比的线性阻尼力阻尼系数为单位kg/s。重力加速度为。受力分析重力切向分量负号表示恢复力方向与增加方向相反。线性阻尼力与切向速度˙ 成正比方向相反。切向运动方程牛顿第二定律整理得1.2 小角度线性化近似当较小时通常时误差很小。令方程化为线性阻尼谐振子方程1.3 求解线性微分方程这是常系数二阶齐次线性微分方程其解的形式取决于特征方程特征根1.3.1 欠阻尼情况​定义阻尼振荡角频率则特征根为共轭复数通解为由初始条件确定常数假设时从静止释放代入得因此更简洁的振幅-相位形式令则1.4 速度表达式切向速度。对求导简化合并同类项注意所以于是更简洁地利用振幅-相位形式的导数此处利用了三角恒等式其中​​且相位适当选取后可得简式。最终速度表达式小角度近似下速度幅值初始最大速度由能量估算初始势能小角度时初始动能最大值由机械能守恒无阻尼时得这正是代码中的。因此速度公式可写为其中​二、代码解释对照推导2.1 参数定义第1部分g 9.81; % 重力加速度 ω₀² g/L L 1.0; % 摆长 m 0.5; % 质量 b 0.3; % 阻尼系数 γ b/(2m) theta0_deg 30; % 初始角度对应物理模型中的​。2.2 导出参数计算第2部分theta0 deg2rad(theta0_deg); % 角度转弧度 omega0 sqrt(g / L); % ω₀ √(g/L) gamma b / (2 * m); % γ b/(2m) omega_d sqrt(omega0^2 - gamma^2); % ω_d √(ω₀² - γ²) A sqrt(2 * g * L * (1 - cos(theta0))); % 初始最大速度幅值完全对应推导公式。2.3 阻尼状态检查第3部分if gamma omega0 ... % 过阻尼或临界阻尼停止运行 end确保是欠阻尼情况​此时才有振荡解。2.4 速度计算第4部分t 0:dt:t_max; v A * exp(-gamma * t) .* sin(omega_d * t);直接实现公式注意这里省略了负号只影响初相不影响振幅衰减和周期特性。2.5 绘图与包络线第5-6部分主曲线包络线显示振幅的指数衰减。2.6 物理参数输出第7部分fprintf(固有周期 T₀ %.3f s\n, 2*pi/omega0); fprintf(阻尼周期 T_d %.3f s\n, 2*pi/omega_d); fprintf(阻尼因子 γ %.3f s⁻¹\n, gamma); fprintf(时间常数 τ 1/γ %.3f s\n, 1/gamma); fprintf(阻尼比 ζ γ/ω₀ %.3f\n, gamma/omega0);无阻尼时的固有周期。有阻尼时的振荡周期稍长于 T0T0​。振幅衰减到初始值的 1/e≈37%1/e≈37% 所需时间。无量纲阻尼比。2.7 不同阻尼系数对比第8部分绘制不同即不同下的曲线。阻尼越小越小衰减越慢振荡越持久阻尼越大衰减越快。三、总结物理模型线性阻尼单摆小角度近似。核心公式速度其中​​​代码作用实现了上述公式的数值计算。可视化速度随时间的变化及振幅的指数衰减。比较不同阻尼系数下的运动特性。这个模拟清晰地展示了阻尼振动中振幅指数衰减和周期略微增加的特性。四、源码%% 阻尼单摆速度-时间图模拟 clear; close all; clc; %% 1. 定义物理参数 g 9.81; % 重力加速度 (m/s^2) L 1.0; % 摆长 (m) m 0.5; % 摆锤质量 (kg) b 0.3; % 阻尼系数 (kg/s) - 【可调参数】 theta0_deg 30; % 初始释放角度 (度) - 【可调参数】 %% 2. 计算导出参数 theta0 deg2rad(theta0_deg); % 将角度转换为弧度 % 固有角频率 (无阻尼) omega0 sqrt(g / L); % 阻尼因子 gamma b / (2 * m); % 阻尼角频率 omega_d sqrt(omega0^2 - gamma^2); % 初始最大速度振幅 A (根据能量守恒估算: mgh 1/2 * m * v^2) % h L - L*cos(theta0) A sqrt(2 * g * L * (1 - cos(theta0))); %% 3. 检查阻尼状态 if gamma omega0 fprintf(警告: 当前为过阻尼或临界阻尼状态 (γ ≥ ω₀)不会发生振荡。\n); fprintf(请减小阻尼系数 b 或增加摆长 L。\n); return; % 终止程序 end %% 4. 生成时间与速度数据 t_max 20; % 模拟总时长 (s) dt 0.01; % 时间步长 (s) t 0:dt:t_max; % 时间向量 % 根据阻尼振动公式计算速度 v A * exp(-gamma * t) .* sin(omega_d * t); %% 5. 绘图 figure(Name, 阻尼单摆速度-时间图, NumberTitle, off); % 绘制主图 plot(t, v, b-, LineWidth, 2); hold on; % 绘制零线便于观察 plot(t, zeros(size(t)), k--, LineWidth, 1); % 绘制包络线振幅衰减曲线 plot(t, A * exp(-gamma * t), r--, LineWidth, 1.5); plot(t, -A * exp(-gamma * t), r--, LineWidth, 1.5); hold off; %% 6. 美化图像 xlabel(时间, FontSize, 12); ylabel(速度, FontSize, 12); title_str sprintf(阻尼单摆速度-时间图\n(摆长%.1fm, 质量%.1fkg, 阻尼系数%.2f, 初始角度%.0f°), ... L, m, b, theta0_deg); title(title_str, FontSize, 14); grid on; legend(实际速度, 零速度线, 包络线, Location, northeast); set(gca, FontSize, 11); %% 7. 在命令行窗口输出关键物理参数 fprintf( 模拟参数 \n); fprintf(固有周期 T₀ %.3f s\n, 2*pi/omega0); fprintf(阻尼周期 T_d %.3f s\n, 2*pi/omega_d); fprintf(阻尼因子 γ %.3f s⁻¹\n, gamma); fprintf(时间常数 τ 1/γ %.3f s (振幅衰减到37%%所需时间)\n, 1/gamma); fprintf(阻尼比 ζ γ/ω₀ %.3f\n, gamma/omega0); fprintf(\n); %% 8. 【可选】比较不同阻尼系数的影响 figure(Name, 不同阻尼系数对比, NumberTitle, off); hold on; b_values [0.05, 0.2, 0.5, 0.8]; % 不同的阻尼系数 colors lines(length(b_values)); for i 1:length(b_values) b_val b_values(i); gamma_val b_val / (2 * m); if gamma_val omega0 omega_d_val sqrt(omega0^2 - gamma_val^2); v_val A * exp(-gamma_val * t) .* sin(omega_d_val * t); plot(t, v_val, Color, colors(i, :), LineWidth, 2, ... DisplayName, sprintf(b %.2f (ζ %.2f), b_val, gamma_val/omega0)); end end plot(t, zeros(size(t)), k--, LineWidth, 1); hold off; xlabel(时间, FontSize, 12); ylabel(速度, FontSize, 12); title(不同阻尼系数对速度-时间图的影响, FontSize, 14); legend(show, Location, northeast); grid on; set(gca, FontSize, 11);